07. 행렬식의 성질(Properties of Determinant)

 

7. 1. 행렬식의 성질(Properties of Determinant)

 

- Triangular Matrix or Diagonal Matrix 이면 det(A)는 대각선 성분들의 곱과 같다.

 

 

- Properties of Determinant.

 

  1) det(A) = det(A^T).

 

  2) det(AB) = det(A)det(B).

 

  3) det(A^k) = det(A)^k.

 

  4) A가 Inverse Matrix를 가지면, det(A) ≠ 0 and det(A^-1) = 1 / det(A).

 

  5) det(kA) = kⁿdet(A).

 

 

- 행렬식이 항상 0이 되는 경우(When the Determinant Becomes 0).

 

  1) Matrix A안의 임의의 한 행이나 한 열이 모두 0으로 구성되어 있다.

 

  2) A의 임의의 두 행(열)이 서로 같거나 비례한다.

 

 

- 기본행 연산과 행렬식(Elementary Row Operations and Determinants).

 

  1) B를 A의 한 행(열)에 상수 k배해서 만들어진 행렬이라 하면 det(B) = kdet(A) 이다.

 

  2) B를 A의 한 행(열)을 교환하여 만들어진 행렬이라 하면 det(B) = -det(A) 이다.

 

  3) B를 A의 한 행(열)에 상수 k배해서 다른 행(열)에 더하여 만들어진 행렬이라 하면 det(B) = det(A) 이다.

 

 

- 정리(Theorem): 위 정리들에 따라 어떤 Matrix의 행렬식을 구할 때는, 한 행(열)에 상수 k배해서 다른 행(열)에 더하여서 Matrix를 구성하는 원소를 0으로 많이 만든 후 여인수 방법을 이용해서 행렬식을 구한다.

 

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7. 2. 크라메르 공식(Cramer’s Rule)

 

- A가 n x n 행렬이고, b가 n차원 벡터인 Ax = b의 선형방정식의 유일한 해를 구하는데 적용된다.

 

- 해를 구하는 것보다는 해의 수학적 성질을 조사하는 목적에 있다.

 

- A_i(b): A의 i Column 벡터를 벡터 b로 치환한 행렬.

 

- x_i = det(A_i(b)) / det(A).

 

 

- 여인수 행렬(Cofactor Matrix): 여인수들로 구성된 행렬.

 

- 수반행렬(Adjoint Matrix, adj(A)): 여인수 행렬의 전치 행렬.

 

- A^-1 = adj(A) / det(A).

 

- det(adj(A)) = (det(A))^n-1. [A is n-square matrix]

 

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7. 3. 행렬식의 활용(Uses of Determinant)

 

- A가 2-square matrix이면 | det(A) | 는 행렬 A의 두 열벡터 의해서 결정되는 평행사변형의 넓이와 같다.

 

- A가 3-square matrix이면 | det(A) | 는 행렬 A의 세 열벡터 의해서 결정되는 평행육면체의 넓이와 같다.

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