11. 부정적분(Indefinite Integral)

 

11. 1. y = xⁿ의 부정적분(Indefinite Integral of y = xⁿ)

- xⁿ 의 부정적분.

 

  1) ∫ xⁿ dx = 1/(n + 1) X x^{n + 1} + C.

 

  2) ∫(ax + b)ⁿ dx = 1/a X 1 / (n + 1) X (ax + b)^{n + 1} + C.

 

  3) if) (n = -1)  -> ∫ 1/x dx = ln | x | + C.

 

 

- 부정적분의 공식(Formula of Indefinite Integral).

 

  1) ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx. [k is real number]

 

  2) ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

 

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11. 2. 삼각함수의 부정적분(Indefinite Integral of Trigonometric Functions)

 

- ∫ sin x dx = - cos x + C.

 

- ∫ cos x dx = sin x + C.

 

- ∫ sec² x dx = tan x + C.

 

- ∫ csc² x dx = - cot x + C.

 

- ∫ sec x tan x dx = sec x + C.

 

- ∫ csc x cot x dx = - csc x + C.

 

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11. 3. 지수함수의 부정적분(Indefinite integral of Exponential Functions)

 

- ∫ e^x dx = e^x + C.

 

- ∫ a^x dx = a^x / ln a + C.

 

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11. 4. 치환적분법(Intergration by Substitution)

- 기존 피적분함수로 적분하기 어려울 경우 다른 변수로 바꾸어 적분하는 방법.

 

  1) ∫ (ax + b)ⁿ dx = 1/a X 1/(n+1) X (ax + b)^{n + 1} + C.

 

  2) ∫ sin(ax + b) dx = 1/a X – cos(ax + b) + C.

 

  3) ∫ 1/(ax + b) dx = 1/a X ln |ax + b| + C.

 

  4) ∫ e^{ax + b} dx = 1/a X e^{ax + b} + C.

 

  5) ∫ p^{ax + b} dx = 1/a X 1 / ln p X p^{ax + b} + C.

 

 

- 유리함수를 치환할 때는 피적분 함수 속에 있는 ( f(x) )ⁿ 꼴에서 f(x) = t로 치환한다.

 

- 무리함수를 치환할 떄는 피적분 함수 속에 있는 √f(x) 꼴에서 root를 포함해 √f(x) = t로 치환한다.

 

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11. 5. 부분적분법(Intergration by Parts)

 

- ∫ f(x)g’(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f’(x)g(x) dx.

 

- f(x)는 미분하기 쉬운 걸, g(x)는 적분하기 쉬운 걸 선택한다.

 

- ∫ ln x dx = xln x – x + C.

 

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11. 6. 분수함수의 부정적분(Indefinite integral of Fractional Functions)

 

- ∫ 1/x dx = ln | x | + C.

 

- ∫ 1/(ax + b) dx = 1/a X ln | ax + b | + C.

 

 

- 분자의 차수 >= 분모의 차수.

 

  1) 인수분해가 되면 인수분해 한 후 약분한다.

 

  2) 인수분해가 되지 않으면 직접 나눗셈을 해서 몫과 나머지로 분리한다.

 

- 분자의 차수 < 분모의 차수.

 

  1) 부분분수로 분해한다.

 

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