10. 도함수의 활용 - 2 (Use of Derived Function - 2)

 

10. 1. 곡선의 오목, 볼록과 변곡점(Concave, Convex, and Inflection Points of Curves)

 

- y = x² 같은 그래프를 아래로 볼록(위로 오목) 하다고 한다.

 

- y = -x² 같은 그래프를 위로 볼록(아래로 오목) 하다고 한다.

 

 

- 곡선 y = f(x)가 어떤 구간에서

 

  1) f’’(x) > 0 이면 f(x)는 이 구간에서 아래로 볼록하다.

 

     접선의 기울기가 증가.

 

  2) f’’(x) < 0 이면 f(x)는 이 구간에서 위로 볼록하다.

 

     접선의 기울기가 감소.

 

 

- 한 점의 좌우에서 곡선이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로, 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀔 때 이 점을 변곡점(Inflection Point)이라 부른다.

 

- f’’(a) = 0 이고, x = a의 좌우에서 f’’(x)의 부호가 바뀌면 x = a에서 변곡점이다.

 

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10. 2. 함수의 그래프(Grape of Functions)

 

- f’(x)와 f’’(x)를 이용하면 복잡한 함수의 그래프를 그릴 수 있다.

 

  1) 함수의 정의역과 치역 찾기.

 

  2) 그래프의 대칭성 확인하기(odd function, even function).

 

  3) 좌표축과의 교점 찾기(x 절편, y절편).

 

  4) 함수의 증가, 감소 와 극대, 극소 찾기 (f’(x)).

 

  5) 곡선의 오목, 볼록, 변곡점 찾기 (f’’(x)).

 

  6) lim (x → ∞) f(x) , lim (x → -∞) f(x) 을 구하여 점근선 유무 확인하기.

 

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10. 3. 함수의 최대값과 최솟값(Global Maximum and Minimum Values of a Function)

 

- 함수 f(x)가 주어진 구간에서 취할 수 있는 가장 큰 값을 최댓값(Global Maximum Value), 가장 작은 값을 최솟값(Global Minimum Value)이라 부른다.

 

 

- 최댓값, 최솟값 구하기(Find the Global Maximum and Minimum Values).

 

  1) 주어진 구간에서 극댓값, 극솟값을 모두 구한다.

 

  2) 양 끝점의 함수 값을 구한다. [닫힌 구간]

 

  3) 양 끝점의 함수 값, 극댓값, 극솟값을 모두 비교하여 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

 

 

- 극값이 하나만 존재하면, 극솟값일 때는 최솟값이 되고, 극댓값일 때는 최댓값이 된다.

 

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10. 4. 방정식과 부등식에서 활용(Utilized in Equations)

 

- f(x) = 0의 실근은 f(x)과 x축과의 교점의 x좌표이다.

 

- f(x) = g(x)의 실근은 f(x)와 g(x)의 교점의 x좌표이다.

 

 

- 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0 or f(x) < 0 이 성립함을 증명할 때.

 

  1) 모든 실수 x에 대하여 f(x) > 0.

 

      f(x) 의 최솟값 > 0.

 

  2) 모든 실수 x에 대하여 f(x) < 0.

 

      f(x) 의 최댓값 < 0.

 

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