09. 도함수의 활용 - 1 (Use of Derived Function - 1)

 

9. 1. 접선의 방정식(Equation of Tangent Line)

 

- y = f(x)에서 접점 (a , f(a))에서의 접선의 방정식.

 

  y = f’(a)(x - a) + f(a).

 

- 기울기 m만 주어졌다면 접점을 미지수 (t , f(t)) 로 놓고 f’(t) = m 을 이용해 접점의 좌표를 구한다.

 

- 곡선 밖의 한 점이 주어졌다면 접점을 미지수 (t , f(t)) 로 놓고, 접선의 방정식 y = f’(t)(x - t) + f(t)를 세운 다음 곡선 밖의 한점을 접선의 방정식에 대입한다.

 

- y = f(x)에서 접점 (a , f(a))에서의 접선에 수직인 직선의 방정식.

 

  y = - 1/f’(a) X (x - a) + f(a).

 

 

- 두 곡선의 공통접선(Common Tangent of Two Curves).

 

   y = f(x) , y = g(x)가 정의될 때,

 

  1) 점 (a, b)에서 접하면, f(a) = g(a) = b 이고 f’(a) = g’(a) .

 

  2) 점 (a, b)에서 만나고 이 점에서 두 곡선에 그은 접선이 서로 수직이면,

 

  f(a) = g(a) = b 이고 f’(a) X g’(a) = -1.

 

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9. 2. 함수의 극대와 극소(Local Maximum and Minimum Values of a Function)

 

- 함수의 극대와 극소(Local Maximum and Minimum Values of a Function).

 

1) x = a의 좌우에서 f(x)가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, f(x)는 x = a에서 극대(Local Maximum)라 하고, f(a)를 극댓값이라 부른다.

 

2) x = b의 좌우에서 f(x)가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, f(x)는 x = b에서 극소(Local Minimum)라 하고, f(b)를 극솟값이라 부른다.

 

 

- 극댓값과 극솟값을 합쳐서 극값(Local Extrema)이라 부른다.

 

- y = f(x)에서 x = a에서 미분가능하고 x = a에서 극값을 가지면 f’(a) = 0 이다.

 

 

- 극대 극소를 찾는 방법은 f(x)의 도함수인 f’(x)를 구하고 f’(a) = 0을 만족하는 a를 찾는다.

 

  이후 a의 좌우에서 f’(x)의 값이 양수인지 음수인지 확인하여,

 

  양 -> 음 이면 극대, 음 -> 양 이면 극소로 판단한다.

 

 

- 다항함수에서 최고차항의 차수가 짝수이면 반드시 극값을 갖고, 극 값은 홀수개 이다.

 

- 다항함수에서 최고차항의 차수가 홀수이면 극값을 갖지 않을수도 있고, 극 값을 가지면 짝수개 이다.

 

- x = a에서 극값 b를 갖는다.

 

   => f’(a) = 0, f(a) = b.

 

 

- 이계도함수를 갖는 함수 f(x)에서 f’(a) = 0 일 때,

 

  1) f’’(a) > 0 이면 f(x)는 x = a에서 극소이다.

 

  2) f’’(a) < 0 이면 f(x)는 x = a에서 극대이다.

 

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