01. 지수함수(Exponential Function)

 

 

1. 1. 지수함수와 그래프(Exponential Function and Graph)

 

- y = a^x (a > 0, a ≠ 1).

 

 

( a > 1 )

 

 

 

( 0 < a < 1 )

 

 

- 지수함수 그래프의 성질(Properties of Exponential Function Graphs).

 

  1) 정의역(Domain)은 실수 전체의 집합이고, 치역(Codomain)은 양의 실수 전체의 집합이다.

 

  2) 그래프는 (0, 1), (1, a)를 지나고, x축이 점근선(Asymptote)이다.

 

  3) y = a^x 그래프와 y = (1/a)^x 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

 

 

- y = a^x 그래프를 x축으로 p, y축으로 q만큼 평행이동 -> y = a^(x-p) + q.

 

- y = a^x 그래프를 x축 대칭이면 y = -a^x , y축 대칭이면 y = a^-x , 원점 대칭이면 y = -a^-x .

 

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1. 2. 지수함수의 최대최소(Max and Min of Exponential Functions)

 

- 정의역이 p ≤ x ≤ q일 때, 지수함수 y = a^x의 최대 최소는 다음과 같다.

 

  1) a > 1 일 때 증가함수이므로 x = p에서 최솟값, x = q에서 최댓값을 갖는다.

 

  2) 0 < a < 1 일 때 감소함수이므로  x = p에서 최댓값, x = q에서 최솟값을 갖는다.

 

 

- y = a^2x + pa^x + q 의 형태는 a^x 를 t (t > 0)와 같은 한 문자로 치환하여 최대최소를 구한다.

 

- y = a^f(x) 의 경우 a > 1이면 f(x) 가 최대일 때 함수값도 최대이고, f(x)가 최소일 때 함수값도 최소이다.

 

  0 < a < 1이면 f(x) 가 최소일 때 함수값이 최대이고, f(x)가 최대일 때 함수값은 최소이다.

 

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1. 3. 지수방정식(Exponential Equation)

- 지수방정식(Exponential Equation): 지수에 미지수를 포함하는 방정식.

 

 

- 항이 2개인 지수방정식의 풀이법(Solving Exponential Equations).

 

  1) 밑이 같다면, 지수가 같아야 한다.

 

  2) 지수가 같으면, 밑이 같거나 지수가 0 이다.

 

  3) 밑 지수 둘다 미지수가 있다면, 밑은 1 이거나 지수는 같아야 한다.

 

 

- a^x 꼴이 반복되면 a^x = t (t > 0)로 치환하여 푼다.

 

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1. 4. 지수부등식(Exponential Inequality)

- 지수부등식(Exponential Inequality): 지수에 미지수를 포함하는 부등식.

 

- a > 1일 때, a^x1 < a^x2 이면 x1 < x2 이고, 0 < a < 1일 때, a^x1 < a^x2 이면 x1 > x2 이다.

 

 

- 지수부등식의 풀이법(Solving Exponential Inequalities).

 

  1) 항이 2개이면 밑을 같게 한 다음 지수를 비교한다.

 

  2) a^x 꼴이 반복되면 a^x = t (t > 0)로 치환하여 푼다.

 

  3) 밑에 변수가 있다면, 0 < 밑 < 1 , 밑 = 1 , 밑 > 1 인 경우로 나누어서 푼다.

 

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[1] https://www.desmos.com/calculator/