06. 이산확률변수(Discrete random variable)

 

6. 1. 확률변수와 확률분포(Random variable and probability distribution)

- 확률변수(Random variable): 어떤 변수 X가 시행의 결과에 따라 취할 수 있는 값과 그 확률이 각각 정해질 때.

 

- 확률변수 X가 어떤 임의의 값 x를 취할 확률은 P(X = x) 로 나타낸다.

 

- 이산확률변수(Discrete random variable): 확률변수 X가 취하는 값이 유한개일 때, X를 이산확률변수라 부른다.

 

- 이산확률변수 X가 취할 수 있는 값이 x₁, x₂, x₃, … 이고, 이 각각의 값에 확률 p₁, p₂, p₃, … 이 주어질 때, 이 들 사이의 대응관계를 확률분포(Probability distribution)라 하고, 이 것을 표로 나타낸 것을 확률분포표(Probability distribution table) 라 부른다.

 

X	x1	x2	x3	…	xn	Total
P(X = x)	p1	p2	p3	…	pn	1

 

- 확률질량함수(Probability mass function): 이산확률변수를 변수를 이용해 함수적으로 표현하는 것.

 

- 확률변수 X가 a이상 b이하일 확률은 P (a ≤ X ≤ b) 으로 표현한다.

 

 

- 확률질량함수의 성질(Properties of probability mass function).

 

  1) 0 ≤ P(X = x_i) ≤ 1.

 

  2) p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 1.

 

  3) P(X = x_i or X = x_j) = p_i + p_j.

 

  4) P (a ≤ X ≤ b) = p_a + All the probabilities between two values + p_b.

 

---

 

6. 2. 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차(E, V, σ of Discrete random variable)

 

 

- aX + b의 평균, 분산, 표준편차(E, V, σ of aX + b)

 

   1) Expectation : E(aX + b) = aE(X) + b.

 

   2) Variance : V(aX + b) = a²V(X).

 

   3) Standard deviation : σ(aX + b) = | a | σ(X).

 

---

 

6. 3. 이항분포(Binomial distribution)

- 이항분포(Binomial distribution): 1회의 시행에서 어떤 사건 A가 일어날 확률을 p, 일어나지 않을 확률을 1 – p,라 하고, n번의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 이산확률변수 X라 하면, X의 확률질량함수는

 

  P(X = x) = _nC_xp^x(1 - p)^n-x [x = 0, 1, 2, … , n].

 

- B(n, p)로 나타낸다.

 

 

- 이항분포의 평균, 분산, 표준편차(E, V, σ of Binomial distribution).

 

  1) Expectation : E(X) = np.

 

  2) Variance : V(X) = npq.

 

  3) Standard deviation : σ(X) = √npq.

 

---