11. 지수, 로그(Exponent and Log)

 

11. 1. 지수의 정의(Definition of exponent)

 

- 지수법칙(exponents formula) (1).

 

  1) a^maⁿ = a^{m + n}.

 

  2) (a^m)ⁿ = a^{m X n}.

 

  3) (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.

 

  4) [m > n] a^m / aⁿ = a^{m - n}.

      [m = n] a^m / aⁿ = 1. 

      [m < n] a^m / aⁿ = 1 / a^{n - m}.

 

 

- xⁿ = a를 만족시키는 x를 a의 n제곱근(n square root)(ⁿ√a)이라고 부른다.

 

- 복소수의 범위에서 볼 때 n제곱근은 n개 존재한다.

 

- 실수의 범위에서 볼 때 n이 홀수이면 실근은 항상 1개 존재한다. x = ⁿ√a.

 

 

- 실수의 범위에서 볼 때 n이 짝수이고

 

  1) a > 0 이면 실근은 2개 존재한다. x= ⁿ√a, -ⁿ√a.

 

  2) a = 0 이면 실근은 1개 존재한다. x = 0.

 

  3) a < 0 이면 실근은 존재하지 않는다.

 

 

- 거듭제곱근의 성질(Properties of power root).

 

 

 

- 추가적으로 ⁵√(-5)⁵ = -5 이고, ⁶√(-5)⁶ = 5 이다.

 

 

- 지수법칙(exponents formula) (2).

 

  1) a⁰ = 1.

 

  2) a^-n = 1 / aⁿ.

 

  3) a^m/n = ⁿ√a^m.

 

  4) a^1/n = ⁿ√a.

 

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11. 2. 로그의 정의(Definition of log)

- a > 0, a ≠ 1, N > 0 일 때 a^x = N  ⇔  x = log_a N.

 

  ex ) 5^x = 7  ⇔  x = log₅ 7.

 

- a를 밑(Base), N을 진수(Antilogarithm), x를 지수(Exponent) 라고 부른다.

 

- log_a N이 정의되기 위해서는 a > 0, a ≠ 1, N > 0을 만족해야 한다.

 

- 상용로그(Common logarithm): 10을 밑으로 하는 로그를 말하며 밑인 10을 생략하고 log N의 형태로 사용한다.

 

- 상용로그는 상용로그표 등 일반적으로 그 값을 찾기 쉽게 정리되어 있다.

 

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11. 3. 로그의 성질(Properties of log)

1) log_a 1 = 0, log_a a = 1.

 

2) log_a xy = log_a x + log_a y.

 

3) log_a (x/y) = log_a x - log_a y.

 

4) log_a xⁿ = nlog_a x.

 

5) log_a b = log_c b / log_c a.

 

6) log_a b = 1 / log_b a.

 

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