12. 원의 방정식(Equation of a circle)

 

12. 1. 원의 방정식 그리기(Draw the equation of a circle)

- 점 (a, b)를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은

  (x - a)² + (y - b)² = r².

 

- 특히, 원점을 중심으로 하고, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은

   x² + y² = r².

 

- 위의 2개의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 부르고, 원의 방정식의 일반형은 아래와 같다.

   x² + y² + Ax + By + C = 0 [단, A² + B² – 4C > 0].

  중심: (- A/2 , - B/2), 반지름의 길이: √(A² + B² – 4C) / 2.

 

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12. 2. 원과 직선(Circle and straight line)

(원과 직선의 위치 관계, Relative position of circle and straight line)

- 원과 직선사이의 위치 관계는 두점에서 만난다, 접한다, 만나지 않는다 3가지가 있다.

 

- 원과 직선사이의 위치 관계는 거리와 판별식을 이용해서 판단한다.

 

   1) 원의 중심에서 직선까지의 거리를 d, 원의 반지름의 길이를 r 이라고 하면

        d < r 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, d = r 이면 접하고, d > r 이면 만나지 않는다.

 

   2) 원 (x - a)² + (y - b)² = r²와 직선 y = mx + n에 대하여 직선방정식을 원의 방정식에 대입하여

       (x - a)² + (mx + n - b)² = r²의 판별식을 구한다.

 

       D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0 이면 접하고, D < 0이면 만나지 않는다.

 

 

(원과 접선의 방정식, Equation of tangent)

- 원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁ , y₁)에서 그은 접선의 방정식은

   x₁1x + y₁y = r².

 

- 원 x² + y² = r² 에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은

   y = mx ± r√(m² + 1).

 

 

(공통접선의 길이, Length of common tangent line)

- 반지름의 길이가 각각 r, r’인 두 원의 중심 사이의 거리가 d일 때,

  공통외접선의 길이(Length of common external tangent) = √( d² – (r – r’)² ).

  공통내접선의 길이(Length of common internal tangent) = √( d² – (r + r’)² ).

 

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12. 3. 원의 방정식의 활용(Using the equation of a circle)

- 두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0, x² + y² + A’x + B’y + C’ = 0에 대하여

 

  1) 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식.

      (x² + y² + Ax + By + C) + k(x² + y² + A’x + B’y + C’) = 0. [단, k ≠ -1]

 

  2) 두 원의 교점을 지나는 직선(공통현)의 방정식.

      (A – A’)x + (B – B’)y + (C – C’) = 0. [1)식에서 k = -1]

 

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