09. 관계의 성질, 합성관계(Properties of Relations & Composition Relation)

 

9. 1. 관계의 성질(Properties of Relations)

 

- 반사관계(Reflexive Relation): Set A에 대한 Relation R이 있을 때, 모든 원소 a ∈ A에 대하여 (a, a) ∈ R인 Relation.

 

  ex) A = {1, 2, 3}, Reflexive Relation인 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.

 

- 비반사관계(Irreflexive Relation): Set A에 대한 Relation R이 있을 때, 모든 원소 a ∈  A에 대하여 (a, a) ∉ R인 Relation.

 

- Reflexive Relation은 모든 (a, a)를 가지고 있어야 하고, Irreflexive Relation은 (a, a)를 하나도 가지고 있으면 안된다.

 

- Reflexive Relation, Irreflexive Relation 둘다 아닌 Relation이 존재할 수 있고, 둘다 만족하는 Relation은 존재할 수 없다.

 

 

- 대칭관계(Symmetric Relation): Set A에 대한 Relation R이 있을 때, (a, b) ∈ R이면 (b, a) ∈ R인 Relation.

 

- 반대칭관계(Asymmetric Relation): Set A에 대한 Relation R이 있을 때, (a, b) ∈ R이고 (b, a) ∈ R이면 a = b 인 Relation.

 

  ex) R = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}은 Symmetric Relation O , Asymmetric Relation X.

 

       R = {(2, 2), (3, 1), (3, 3)}은 Symmetric Relation X, Asymmetric Relation O.

 

- Symmetric Relation, Asymmetric Relation을 동시에 만족하는 Relation은 존재할 수 있다.

 

 

- 추이관계(Transitive Relation): Set A에 대한 Relation R이 있을 때, (a, b) ∈ R이고 (b, c) ∈ R이면 (a, c) ∈ R 인 Relation.

 

  ex) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}는 Transitive Relation O.

 

       R = {(1, 3)}은 고려할 다른 원소가 없으므로 Transitive Relation O.

 

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9. 2. 합성관계(Composition Relation)

 

- 합성관계(Composition Relation): Set A -> Set B인 Relation R이 있고, Set B -> Set C인 Relation S가 있을 때, R과 S를 이용해 구하는 Set A - > Set C로의 Relation SㅇR.

 

- dom(SㅇR) = A, codom(SㅇR) = C.

 

- 합성관계에서는 교환법칙이 성립되지 않는다.

 

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