11. 함수(Function)

 

11. 1. 함수의 정의(Definition of Function)

- 함수(Function, f: A -> B): Set A -> Set B로 가는 Relation이 있을 때, Set A의 원소 a에 대해 Set B의 원소 b하나와만 대응되는 Relation.

 

- Relation에서는 A의 원소가 B의 원소와 대응하지 않거나 둘 이상 대응해도 되지만 Function에서는 A의 모든 원소가 B의 원소와 하나만 대응되어야 한다.

 

- 원상(Preimage): 집합 B의 원소 b와 대응하는 집합 A의 원소 a.

 

- 상(Image): 집합 A의 원소 a와 대응하는 집합 B의 원소 b or f(a).

 

- 정의역(Domain, dom(f)): Preimage의 전체 Set, A.

 

- 공역(Codomain, codom(f)): image의 전체 Set, B.

 

- 치역(Range, ran(f)): image의 집합, B의 subset.

 

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11. 2. 함수의 특성(Properties of Function)

 

- 단사함수(Injective Function or Injection): a ≠ b 이면 f(a) ≠ f(b)인 함수.

 

  | dom(f) | ≤ | codom(f) | , | ran(f) | ≤ | codom(f) |.

 

- 전사함수(Subjective Function or Subjection): 공역의 모든 원소들이 한 개 이상의 정의역 원소들과 대응하는 함수.

 

  | dom(f) | ≥ | codom(f) | , | ran(f) | = | codom(f) |.

 

- 전단사함수(Bijective Function): Injective Function, Subjective Function을 모두 만족하는 함수.

 

  | dom(f) | = | codom(f) | , | ran(f) | = | codom(f) |.

 

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11. 3. 함수의 종류(Types of Functions)

 

- 합성함수(Composition Function: gㅇf): f: A -> B, g: B -> C가 있을 때, A -> C로 대응되는 함수.

 

  1) Composition Function은 교환법칙이 성립하지 않는다.

 

  2) f와 g가 단사함수(전사함수, 전단사함수)이면 gㅇf도 단사함수(전사함수, 전단사함수)이다.

 

  3) gㅇf가 단사함수이면 f도 단사함수이다.

 

  4) gㅇf가 전사함수이면 g도 전사함수이다.

 

  5) gㅇf가 전단사함수이면 f는 단사함수이고, g는 전사함수이다.

 

- 항등함수(Identity Function, I_A): f: A -> A일 때, f(x) = x인 함수.

 

  이 때, domain과 codomain은 같아야 하고, 항등함수는 전단사함수이다.

 

- 역함수(Inverse Function, f^-1): f: A -> B가 있을 때, B -> A인 함수.

 

  f(a) = b, f^-1(b) = a. 역함수는 f 가 전단사함수일 때만 구할 수 있다.

 

- 상수함수(Constant Function): f: A -> B가 있을 때, A의 모든 원소가 B의 원소 하나에만 대응되는 함수.

 

- 바닥함수(Floor Function): 어떤 원소가 있을 때 이 원소를 원소보다 작거나 같은 정수에 대응하는 함수.

 

- 천장함수(Ceiling Function): 어떤 원소가 있을 때 이 원소를 원소랑 같거나 큰 정수에 대응하는 함수.

 

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