07. 행렬식, 역행렬(Determinant & Inverse Matrix)

 

7. 1. 행렬식(Determinant)

 

- 행렬식(Determinant, | A | or det(A) )

 

 

- 소행렬(Minor Matix: M_ij): n-square Matrix에서 i번째 항과 j번째 열을 제거해서 얻은 (n-1) X (n-1) 행렬.

 

- 소행렬식(det(M_ij)): 소행렬 M_ij에 대한 행렬식.

 

- 여인수(Cofactor: A_ij): A_ij = (-1)^i+j det(M_ij).

 

- 여인수행렬(Cofactor Matrix: [A_ij]): 여인수들로 구성된 행렬.

 

 

- 3차 이상의 정사각행렬에 대한 행렬식은 여인수를 이용하여 구할 수 있다.

 

 

n차 정사각행렬에서 행이나 열 중에서 하나를 선택한다. 그리고 해당하는 원소의 여인수와 곱한 후 그 결과를 모두 더한다. 어떤 걸 선택하든 결과는 똑같으니 가장 간단하게 계산할 수 있는 행이나 열로 선택한다.

 

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7. 2. 역행렬(Inverse Matrix)

 

- 역행렬(Inverse Matrix, A^-1): square Matrix A에 대해 AB = BA = I 를 만족하게 하는 Matrix B.

 

  AA^-1 = A^-1A = I.

 

 

- 행렬식을 이용한 역행렬 A^-1 = [A_ij]^T / det(A).

 

- 수반행렬(Adjoint Matrix, [A_ij]^T): 여인수행렬 [A_ij]에 대한 전치행렬.

 

- 가역행렬(Invertible Matrix): det(A) ≠ 0인 행렬, 역행렬이 존재하는 행렬.

 

- 특이행렬(Singular Matrix): det(A) = 0인 행렬, 역행렬이 존재하지 않는 행렬.

 

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7. 3. 연립 1차 방정식(Simultaneous Linear Equations)

 

- 첨가행렬(Augmented Matrix): 연립1차방정식을 행렬을 이용하여 계수행렬(Coefficient Matrix)과 상수행렬(Constant Matrix)로 표현하고 이를 합친 행렬.

 

- 가우스 행렬(Gauss Matrix): Coefficient Matrix의 Diagonal Elements을 모두 1로 만들면서, Diagonal Elements를 기준으로 아래쪽 원소들은 모두 0으로하고, 위쪽 원소들은 계수들로 남겨놓은 형태의 Augmented Matrix.

 

- 가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination): Gauss Matrix에서 더 나아가서 Coefficient Matrix를 Identity Matrix로 바꾼다.

 

- Gauss Matrix and Gauss Jordan Elimination 방법으로 연립 1차 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있다.

 

- 가우스 조르단 소거법을 이용해서 역행렬을 구할 수 있다.

 

  첨가행렬의 왼쪽에는 역행렬을 구하고자 하는 가역행렬, 오른쪽에는 단위행렬을 놓고 첨가행렬의 왼쪽부분이 단위행렬의 형태가 될 때까지 가우스 조르단 소거법을 수행하면 오른쪽 부분은 역행렬이 된다.

 

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