03. 분할, 이항정리(Division and Binomial theorem)

 

3. 1. 분할(Division)

- 분할(Division): 여러 개의 물건을 몇 개의 묶음으로 나누는 것.

 

 

- 서로다른 n개를 p개, q개, r개 (p + q + r = n)로 분할하는 방법의 수(Number of Division).

 

  1) p, q, r이 모두 다른 수: _nC_p X _n-pC_q X _rC_r .

 

  2) p, q, r중 어느 두 수가 같음: _nC_p X _n-pC_q X _rC_r X 1 / 2! .

 

  3) p, q, r중 어느 세 수가 같음: _nC_p X _n-pC_q X _rC_r X 1 / 3! .

 

 

- 분배(Distribution): 분할된 묶음을 일렬로 배열하는 것.

 

  n묶음으로 분할하여 n으로 분배하는 방법의 수.

 

  = n 묶음으로 분할하는 경우의 수 X n! .

 

 

- 집합의 분할(Partition of set)

 

  1) 원소가 유한개인 집합을 공집합이 아닌 몇 개의 서로소인 부분집합으로 나누는 것.

 

  2) 원소가 n개인 집합을 k개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수 = S(n, k).

 

  3) 원소가 n개인 집합의 분할의 수 = S(n, 1) + S(n, 2) + S(n, 3) + … + S(n, n - 1) + S(n, n).

 

  4) S(n, k) = S(n – 1, k – 1) + kS(n – 1, k).

 

 

- 자연수의 분할(Partition of integer)

 

  1) 자연수를 순서를 생각하지 않고 몇 개의 자연수의 합으로 나타내는 것.

 

  2) 자연수 n을 k개의 자연수로 분할하는 방법의 수 = P(n, k).

 

  3) 자연수 n의 분할의 수 = P(n, 1) + P(n, 2) + P(n, 3) + … + P(n, n - 1) + P(n, n).

 

  4) P(n, k) = P(n – k, 1) + P(n – k, 2) + P(n – k, 3) + … + P(n – k, k).

 

     만약 P(2, 3) 처럼 k가 n을 초과하면 그 값은 0으로 생각하자.

 

---

 

3. 2. 이항정리(Binomial theorem)

- 이항정리(Binomial theorem): 자연수 n에 대하여 (a + b)ⁿ 의 전개식을 조합을 이용하여 나타내는 것.

 

- (a + b)ⁿ = Σ(r = 0 -> n) _nC_ra^n-rb^r .

 

- _nC_ra^n-rb^r [r + 1 번째 항]을 전개식의 일반항(General term)이라 부른다.

 

- 이항계수(Binomial coefficient): _nC₀ , _nC₁ , _nC₂ , … , _nC_n .

 

- 다항정리(Multinomial theorem): 자연수 n에 대하여 (a + b + c)ⁿ 의 전개식.

 

  (a + b + c)ⁿ = Σ n!/p!q!r! a^pb^qc^r (p + q + r = n).

 

 

- 이항계수의 성질(Properties of binomial coefficient).

 

1) _nC₀ + _nC₁ + _nC₂ + … + _nC_n = 2ⁿ.

 

2) _nC₀ - _nC₁ + _nC₂ - … + (-1)ⁿ _nC_n = 0.

 

3) _nC₀ + _nC₂ + _nC₄ + … = _nC₁ + _nC₃ + _nC₅ + … = 2^n-1.

 

---