09. 불대수(Boolean Algebra)

 

9. 1. 불대수(Boolean Algebra)

 

- 불대수(Boolean Algebra): 논리식을 간소화하기 위한 수학.

 

- Boolean Algebra을 이용해 논리식을 간소화 하고, 이후 AND, OR, NOT Gate 등을 이용해 원하는 회로를 구성할 수 있습니다.

 

A + 0 = 0 + A = A	A · 1 = 1 · A = A		A + 1 = 1 + A = 1
A · 0 = 0 · A = 0	A + A = A		A · A = A
A + A’ = 1	A · A' = 0		A’’ = A
A + B = B + A		A · B = B · A
(A + B) + C = A + (B + C)		(A · B) · C = A · (B · C)
A · (B + C) = A · B + A · C		A + B · C = (A + B) · (A + C)
(A + B)’ = A’ · B’		(A · B)’= A’ + B’
A + A · B = A		A · (A + B) = A
AB + BC + A’C = AB + A’C		(A + B)(B + C)(A’ + C) = (A + B)(A’ + C)

 

(Basic Laws of Boolean Algebra)

 

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9. 2. 곱의 합(Sum of Product: AND - OR)

 

- 곱의 합(SOP): 입력측인 1단계가 AND Gate로 구성되고, 출력측인 2단계가 OR Gate로 구성.

 

  ex) AB + CD + ABD’.

 

- Level: 입력단에서 출력단까지 거치는 최대 게이트의 수.

 

- 표준 곱의 항(최소항, Standard Product Terms): 함수의 모든 변수를 포함하고 있는 AND항.

 

- 최소 SOP(Minimum Sum of Products): SOP로 나타낸 함수 중에서 Standard Product Terms 로만 이루어진 함수.

 

A B C	F	Standard Product Terms	Symbol
0 0 0	0	A’B’C’	m0
0 0 1	1	A’B’C	m1
0 1 0	0	A’BC’	m2
0 1 1	1	A’BC	m3
1 0 0	0	AB’C’	m4
1 0 1	1	AB’C	m5
1 1 0	0	ABC’	m6
1 1 1	1	ABC	m7

 

 

-> F(A, B, C) = Σ m(1, 3, 5, 7) = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC.

 

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9. 3. 합의 곱(Product of Sum: OR - AND)

 

- 합의 곱(POS): 입력측인 1단계가 OR Gate로 구성되고, 출력측인 2단계가 AND Gate로 구성.

 

  ex) (A + B)(C + D)(A +B + D’).

 

- 표준 합의 항(최대항, Standard Sum Terms): 함수의 모든 변수를 포함하고 있는 OR항.

 

- POS는 SOP와 다르게 1일 때 ‘ or _bar 를 붙이고, 출력이 0일 때를 표현합니다.

 

A B C	F	Standard Sum Terms	Symbol
0 0 0	0	A + B + C	M0
0 0 1	1	A + B + C’	M1
0 1 0	0	A + B’ + C	M2
0 1 1	1	A + B’ + C’	M3
1 0 0	0	A’ + B + C	M4
1 0 1	1	A’ + B + C’	M5
1 1 0	0	A’ + B’ + C	M6
1 1 1	1	A’ + B’ + C’	M7

 

 

-> F(A, B, C) = П M(0, 2, 4, 6) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C)(A’ + B’ + C).

 

 

- SOP와 POS는 상호 보수의 성질을 가지고 있습니다.

 

  ex) F(A, B, C) = Σ m(1, 3, 5, 7) = П M(0, 2, 4, 6).

 

- 출력은 같지만 논리식의 형태는 다를 수 있습니다.

 

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